Chapitre 11 - Formes trigonométrique et algébrique des nombres complexes

Forme trigonométrique : module et argument, interprétation géométrique
Notation exponentielle
Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement
Connaître et utiliser la relation $z\bar{z} = |z|^2$
Effectuer des opérations sur les nombres complexes écrits sous différentes formes

IForme trigonométrique

1Introduction

En revenant à l'interprétation géométrique d'un nombre complexe

$z=a + i b$ , c'est à dire un point

$M (a;b)$ dans le plan, puis en utilisant le cercle trigonométrique pour le repérer, on peut écrire

$z$ sous une forme nouvelle, la forme trigonométrique...

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$ et on place $M$ le point d'affixe $z=a+ib$ un nombre complexe non nul. On note :

$heta$ l'angle orienté $(\vec{u};\vec{OM})$ .
$r$ la distance $OM$

Si $OM = 1$ , c'est à dire, si $M$ est sur le cercle trigonométrique, on sait que $M$ à pour coordonnées $(cos (\theta); sin (\theta))$ , et donc : $z=cos (\theta) + i sin (\theta)$
et en général, $z=r (cos (\theta) + i sin (\theta))$

2Définitions et propriétés

En reprenant les notations précédentes, on appelle :

L'argument de $z$ , noté $arg (z)$ , l'angle $\theta = (\vec{u};\vec{OM})\in[0;2\pi[$ en radian.
Le module de $z$ , noté $|z|$ , la longueur $OM = \sqrt{a^2+b^2}$

Soit

$z\in\mathbb{C}$ , alors

$|z|^2 = z\bar{z}$

Cliquer pour dévoiler

Soit

$z\in\mathbb{C}$ , alors :

$arg (\bar{z}) = arg (z)$
$arg (-z) = arg (z) + \pi$
$|-z| = |z|$
$|\bar{z}| = |z|$

Soit

$z\in\mathbb{C}$ , alors :

Si $z \in \mathbb{R}^+$ , $arg (z) = 0$
Si $z \in \mathbb{R}^-$ , $arg (z) = \pi$
Si $z \in i \mathbb{R}^+$ , $arg (z) = \frac{\pi}{2}$
Si $z \in i \mathbb{R}^-$ , $arg (z) = \frac{3 \pi}{2}$

La forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul est :

$z=r (cos (\theta) + i sin (\theta))$ où

$\theta = arg (z)$ et

$r = |z|$

Pour passer de la forme algébrique

$z=a+ib$ à la forme trigonométrique

$z=r (cos (\theta) + i sin (\theta) )$ il faut respecter les étapes :

Calculer le module $r = |z|$ à l'aide de la formule $|z| = \sqrt{a+ib}$
Factoriser $z$ par $r$ : $z = r (\frac{a}{r} + i \frac{b}{r})$
Reconnaître l'angle dont le cosinus est $\frac{a}{r}$ et le sinus est $\frac{b}{r}$

Exercice Résolu

On pose $z = \sqrt{3} + i$ (forme algébrique). Mettre $z$ sous forme trigonométrique.

Cliquer pour voir la correction

Calcul du module

$\begin{align} r & = & \sqrt{\sqrt{3}^2 + 1^2} \\ & = & \sqrt{3 + 1} \\ & = & \sqrt{4} \\ r & = & 2 \\ \end{align}$

Factorisation par le module

On a donc

$z = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2})$

Reconnaître l'angle (chapitre trigo)

On sait que

$cos (\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et

$sin (\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ , donc

$arg (z) = \frac{\pi}{6}$ , et donc :

$z = 2 (cos (\frac{\pi}{6}) + i sin (\frac{\pi}{6}))$

3Interprétation géométrique

Soient

$A$ et

$B$ deux points d'affixes respectives

$z_A$ et

$z_B$ . Alors la distance

$AB$ vaut :

$AB = |z_B - z_A|$

Cliquer pour dévoiler

On se place dans le repère orthonormé

$(\vec{u};\vec{v})$ . Soient

$A$ et

$B$ deux points distincts d'affixes respectives

$z_A$ et

$z_B$ . Alors l'angle orienté

$(\vec{u};\vec{AB})$ vaut :

$(\vec{u};\vec{AB}) = arg (z_B - z_A)$

Cliquer pour dévoiler

Chapitre 11 - Formes trigonométrique et algébrique des nombres complexes

IForme trigonométrique

1Introduction

2Définitions et propriétés

Exercice Résolu

Calcul du module

Factorisation par le module

Reconnaître l'angle (chapitre trigo)

3Interprétation géométrique

IIForme exponentielle

1Introduction

2Définition, propriétés